西姆松定理（Simson theorem）：过三角形外接圆上异于三角形特别的纵情极少作三边或其延迟线上的垂线，则三垂足共线，此线为西姆松线（Simson line）。其逆定理为：若极少在三角形三边方位直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

一、西姆松定理的解释

如图1，从△ABC的外接圆上纵情极少P（异于特别A、B、C）向三边BC、CA、AB或其延迟线引垂线，垂足分袂为D、E、F。解释：D、E、F三点共线。

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解题念念路（1）：贯穿DF、DE、PB、PC（图2），

易证F、B、P、D和D、P、E、C四点共圆，则

∠FDB=∠FPB，∠CDE=∠CPE。

在Rt△BFP和Rt△CEP中，

∠ABP=∠PCE（圆内接四边形的外角即是其内对角）

故∠CPE=∠FPB（等角的余角很是），则∠CDE=∠FDB。

因∠BDE+∠CDE=180°，则∠BDE+∠FDB =180°，

故F、D、E三点共线开导。

或∠FDP+∠FBP=∠FDP+∠PCE

=∠FDP+∠PDE

=180°，这么F、D、E三点共线亦开导。

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解题念念路（2）：期骗梅涅劳斯定理的逆定理，贯穿DE、DF、PB、PA、PC（图3），左证同弧平等角、圆内接四边形的外角性质，易证下列3组相通三角形及对应线段比例接续：

Rt△PEC∽Rt△PFB，EC/FB=PC/PB…………①;

Rt△AFP∽Rt△CDP，AF/DC=AP/PC…………②;

Rt△BDP∽Rt△AEP，BD/EA=PB/AP…………③。

假定△ABC被“线段”FDE所截，猎艳哪里有卖的将①、②、③式代入梅涅劳斯定理线段比例抒发式：

AF/FB·BD/DC·EC/EA

=EC/FB·AF/DC·BD/EA

= PC/PB·AP/PC·PB/AP

=1，

左证梅涅劳斯定理的逆定理，F、D、E三点共线开导。

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二、西姆松定理的逆定理的解释

如图4，D为△ABC外极少，过D作△ABC三边（特别延迟线）的垂线分袂交AB、BC、AC延迟线于E、F、G三点，且该三点共线。求证：点D在△ABC的外接圆上。

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解题念念路：本题的本质是解释A、B、D、C四点共圆，要是能解释∠DCG=∠ABD，或∠A+∠BDC=180°，则此题可解。

贯穿DC、DB（图5），易证F、E、B、D和F、D、G、C四点共圆，则∠DCG=∠DFG =∠EBD，即∠DCG=∠ABD开导，A、B、D、C四点共圆得证。

或因∠A+∠ABC+∠ACB

=∠A+∠EDF+∠FDG

=∠A+∠EDG

=180°。

易证∠CDG=∠BDE=ε，

故∠A+∠EDG

=∠A+∠BDC

=180°，则A、B、D、C四点共圆开导，点D在△ABC的外接圆上得证。

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